普通物理学中求极值的问题

作者：本溪县一中高中　辛冰

　　 摘要：在普通物理学中，极值问题对同学们来说是难度相对稍大的问题。本文通过具体实例，分析解答，并归纳总结，找出一些解决极值问题的一些常用方法，经帮助同学排疑解难，提高思维能力，解题效率等。
　　关键词：动态平衡、动态圆、求导、平均值不等式、临界条件。
　　ask the question of the extreme value in ordinary physics
　　xin bing
　　abstract:ordinary physics,the question of extreme value is a problem with
relative and slightly great degree of difficulty to classmates. this text analyses
and answers and sum up to summarize through the concrete mstunce, find out
some daity methods to solve problem of extreme value, in order to helping stu-
dent arrange doubt solve problem, it ruises thinking ability solve question unit
for by speed.
　　key word:dynamic equilibrium, round trends asking, lead, average value equa-
tity, critical condition.

　　在物理教学中，极值问题已经成为一种培养学生物理兴趣。提高学生思维水平的基本问题之一，为了能迅速地求出不同情况下的物理量的极值，不仅要弄清基本概念，掌握基本规律，而且还应熟悉解决极值的方法。为帮助同学们排疑解难，本文筛选典型范例剖析，从中进行归纳总结，以期帮助同学们训练思维，掌握求极值的方法，提高技能。
根据几何关系求极值
　　１、几何图形法：矢量是有大小，有方向的物理量，在多个矢量叠加时，遵循矢量合成的平等四边形法则来进行运算，从而解此类极值问题，可以运用几何知识加以处理。例1：如图１所示，一个重为ｇ的球放在图1
　　光滑斜面上，斜面倾角为α，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板档球，使之处于静止状态，今使板与斜面夹角β缓慢增大，问：在此过程中，球对档板和斜面的压力如何变化？
　　分析与解答：取球为研究对象，对球进行
　　受力分析，球受重力，斜面给球的支持力和木板对球的压力，三力作用。此题要求解出球对档板的压力和对斜面的压力在β增大条件下如何变化。由作用力、反作用力我们知道，木板所受压力大小等于木板对球的压力的大小。球对斜面的压力大小等于斜面对球的支持力的大小。因此，我们可以把木板和斜面受到的力转到球上，以球为研究对象。球所受到的三个力平衡，所以，木板对球的压力与斜面对球的支持力的合力大小应等于重力。现把重力分解为垂直档板和垂直斜面的分力。如图２所示：
　　两分力在数值上等于球对斜面、档板方向上的压力。 β改变时，重力g在垂直于档板方向上的分力亦发生变化。β增大时，其分图2力方向将绕球心逆时针转动，而重力g垂直于斜面方向的分力方向恒定。如图２所示，过o点分别作射线on（与斜面垂直），om(与档板垂直)；再过g作on的平行线。当β增大时，射线om逆时针转动。由平行四边形法则，不难得到如图所示的若干组f1,f2。当β＝90°时，f2最小，而f1则随β增大而减小。由此可得出本题的结论：　　　　　　　　
　
　　　　　　　　f1↓（n↓）
　　　β↑→
　　(β<90°) f2↓,(β>90°) f2↑
　　用此种方法求解时，要注意找出力的动态平衡中不变的一个力，以这个力为“标准”作出平行四边形，即可解之。用这种图解法分析动态问题有直观、便于比较的特点，用于定性判定，比解析法优越。此种方法一般只能用于物体受三个共点力作用的情况，如两绳共吊一物体，保持结点和一绳不动的情况下改变另一绳的方向，这样的题即可用此种方法解答。但注意两点：①正确判断某一分力的方向变化。②注意某一分力方向变化的空间范围。
　　带电粒子在磁场中运动的极值问题是学生普遍认为的学习难点。中学阶段，考虑到带电粒子以速度v垂直于磁场方向进入有界均匀磁场，在只受洛伦兹力作用时，粒子做匀速圆周运动这一特点，而极值问题又涉及到粒子初速度大小、方向，以及磁场形状、边界等条件的约束。能否从中分析带电粒子在磁场中所做圆周运动轨迹的变化规律出发，运用直观的几何知识来解决具体的问题呢？为突破这一难点，用动态圆分析带电粒子在磁场中运动的极值问题，思路过程如下：
　　建立物理图景（通过动态圆）→由渐变到突变（注意约束条件）→临界状态（运用几何知识）→寻求极值。
　　下面通过具体实例说明这个方法的应用。
　　例２：如图３所示，点s为一电子源，它可以在纸面内的360°的范围内发射速率相同，质量为m，电量为e的电子。mn是一块足够大的档板，与点s的距离os＝l,档板下面即电子源一侧充满着垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为b,问：若使电子源发射的电子有可能到达档
板，则发射的电子速率至少多大？发射方向如何？
　　若发射电子的速率为①中所求速率的2倍，则档板被电子击中的区域范围有多大？发射方向的范围如何？ 图3
　　分析与解答：①由bev=mv2/r，得v=ber/m，由此可以看出，电子圆周运动的半径随电子的速率大小而变化。欲使电子能到达档板，且速度最小的条件是r0=l/2，其电子最小速率为v0=bel/2m，由左手定则，电子应平行于mn板水平向左发射。
　　②当v=2 v0时，电子在磁场中做圆周运动的半径r=2r0=l,在由左手定则所确定的所有动态圆中，其圆心都应在以s为圆心，半径为l的圆周上，如图４所示：在这个圆周上，只有以上半圆周上的各点为圆心的动态圆周上的电子才能击中档板。因此，电子发射方向只能在沿so和sa发射方向左侧的0～π范围内，如图4所示中的箭头所示的角度范围内。
　　在图４所示中，由sa方向顺时针至
　　sp方向发射的电子，其圆心相应在弧po上，打在板上点b’→点a上，与最远点a对应的圆心为点b，发射方向为sc,如图５所示，由几何关系，得
　　oa=√sa2-so2=√(2l)2-l2
　　=√3 l 图4
　　由sp方向顺时针至so方向发射的电子，其圆心相应在弧oq上，打在板上的点b’→点o→点b上，与最远点b所对应的圆心为点q，发射方向为so，由几何关系，得ob= l，所以板mn上被电子击中的范围为线段ab,则
　　ab=oa+ob=(√3+1)l
　　图5
　　确定动态圆圆心轨迹，考虑电子在磁场中顺时针运动时才能击中板的约束条件，进一步确定电子发射方向的范围，再由动态圆的渐变到突变，在临界状态通过简单的几何关系求解极值是解决这类问题的有效方法。
　　例３：在xoy平面内有很多质量为m,电量为e 的电子，从坐标原点ｏ不断经相同速率v0沿不同方向射入第ⅰ象限，如图６所示。现加一垂直xoy平面向里，磁感应强度为ｂ的匀强磁场，要求这些入射电子穿过磁场都能平行于x轴且沿x轴正向运动。试问符合该条件的磁场的最小面积为多大？（不考虑电子间的相互作用）

图6

　　解答与分析：电子由ｏ点射入第ⅰ象限做匀速圆周运动，由于bev=mv02/r，得r=mv0/be。
在由左手定则所决定的所有动态圆中，其中圆心都在以ｏ为圆心，半径为r且位于第ⅳ象限的四分之一圆周上，如图７所示，其中沿y轴正向发射的电子，轨迹如图中实线１所示，圆心在x轴上的ｏ点，而圆心在弧o1on上的各点，其相应 图7
　　运动轨迹均在第ⅰ象限内，如图中2,3,4等实线所示。分别过o1,o2,o3,o4等圆心做与y轴平行的直线（如图中虚线所示），与相应实线分别交于a、b、c、d等点，过这些点做平行于x轴的直线，则为各相应电子平行于x轴的运动方向。由图可知，abcd等点就是各电子离开磁场的出射点，均应满足方程：x2+(r-y)2=r2，即所有出射点均应在以坐标(o,r)为圆心的圆弧abo上，显然，磁场分布的最小面积smin应在实线１和圆弧abo的交集上，由几何关系得：
　　　smin=2(πr/4—r/2)=(π—2)/2*(mv/be)
　　该题解答应满足如下三个条件：一是所有动态圆圆心都应在四分之一圆弧oon上；二是所有电子射出磁场的点都应在四分之一圆弧abo上，三是最小磁场面积必是由两个四分之一圆弧之交集。
　　学会例２、例３两题的求解极值的方法，基本上磁场中求解电子的极值速率，极值磁场面积的问题就可以迎刃而解了。在磁场中只受到洛伦兹力的电子在磁场中运行的有关问题，用动态圆解题思路清晰、形象直观、计算简单、容易掌握。
　　２、几何命题法：几何中有这样一个命题：“在直角三角形中，以斜边上一点和直角顶点为相对顶点的矩形中，取斜边中点为顶点时，所得矩形面积最大。”把 图8这个命题应用到平面解析几何中，直线方程
　　为：y=kx+b，当y=b/2,x=-b/2k时，k为负值，
　　(xy)max= -b2/4k；k为正值，(xy)min=-b2/4k,如图８所示。
　　下面利用此原理来解几例物理极值问题。
　　例４：如图９所示，质量为0.1千克，电量为－0.4库仑的带电小球从h高度由静止滚下，到达最低点后进入半径为0.4m的环形轨道（环面在竖直平面内，内外环之间的距离很小，可以忽略不计），环形轨道有磁感应强度为5特斯拉的匀强磁场，方向垂直纸面向内，不计磨擦，取g=10m/s2。问小球从多高处滚下到达圆环最高点时，对内轨道压力最大？最大压力是多少？
　　解：设小球从h 高度滑下，到达圆环顶点的速度为v，所受支持力为n。
　　则：　mg+bqv－n=mv2/r　　　　代入数据得
　　n=1+2v－v2/4
　　=1+v(8-v)/4
　　令x=v/4, y=8-v 有 y=8-4x
　　当x=－b/2k=－0.5*(8/-4)=1
　　即 v=4m/s 时,有
　　(xy)max= -b2 /4k=82/(4*4)=4
　　则有 nmax=1+4=5
　　再根据机械能守恒定律有：
　　mg=(h-2r)=mv/2 得
　　h=v2/2g +2r=1.6m
　　图9
　　由例４可看出，利用几何命题解极值问题的思考路线是：
　　①根据题目所给的已知条件，应用有关物理知识，列出相关的物理方程。
　　②所列方程属于线性方程，只需将方程变为y=kx+b，直线与x轴、y轴构成一个以原点为直角顶点的直角三角形，斜边中点的坐标为x=－b/2k，y=b/2。　　所以(xy)的极值为－b2/4k。
　　③所列方程若为二次方程形式，则y=ax2+bx+c，可将方程变成y=ax(x+b/a)+c，再令a=ax，b=x+b/a，消去x得：b=a/a+b/a，当a=-b/2，b=b/2a，即x=－b/2a时，y的极值等于－b2/4a+c。
　　凡是列出的方程为一次方程或二次方程，形式如上②③两条，则该题即可用上述几何命题原理来解答。
　　从以上几例可以看出，几何最值原理的优越性可见一斑，它能将复杂的物理关系显示在一个简单的几何图形、几何关系中，形象直观，物理意义明确，能避免繁杂的数学运算和逻辑推理，一目了然，提高解题效率。
　　用求导的方法求极值。
　　在物理竞赛中，经常遇到一些求极值的问题，在处理这些问题时，一般由所给定的条件，根据教材中的物理知识，列出物理量之间的方程，只要分清变量和常量，用高等数学中的求导数的方法很容易解决。
　　用求导数法求极值的一般步骤如下：
列出所求极大值或极小值的有关方程，即函数f(x);
　　求出方程f’(x)=0 的实根x1，x2，……xn;
　　算出f(x1)，f(x2)，……f(xn)以及区间两端点处的函数值f(a)，f(b);
　　将③中所算出的所有函数值进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
如果所给区间不是闭区间[a,b]，而是开区间(a,b)，在(a,b)内部f’(x)=0只有一个根x1,且(a,b)内有最大值或极小值存在，那一般来说f(x1)就是所要求的最大值或最小值，不必再算f(a)，f(b)了。
　　这种方法是求极值的第一判别法，方法简单，易于掌握。下面介绍一下求极值的第二判别法，步骤如下：
找出所有满足f’(x)=0的点xn。
f”(x)≠0。若f”(xn)>0，则在xn处，f(xn)为极小值，若f”(xn)<0,则在xn处，f(xn)为极大值。
例５：如图10所示，是一个均匀的木杆，线 图10
密ρ=3kg/m，以ｏ端为支点，在另一端ａ点
施加一个竖直向上的力ｆ，在距ｏ端a=0.2m
的ｂ点挂一个m=30kg的重物，要使木杆在水
平位置平衡，木杆多长时加在a端的力f最小？
解：设木杆长为x时f最小，则由杠杆的平衡原理得
fx=mga+ρxg*x/2
f=mga/x+ρgx/2
f`(x)=df/dx= mga/x2+ρg/2
当f`(x)=0时, x=√2ma/ρ=2(m)
此时最省的力f为: fmin=58.8n
本题还可以用配方法解:
将 f=mga/x+ρgx/2 配方得
f=(√mga/x -√ρgx/2)2+g√2maρ
故当√mga/x -√ρgx/2=0 时
即当 x=√2ma/ρ =2(米)时最省力
通过以上两种方法可以看出，求导法和配方法均为求物理极值的常见方法，求导法步骤简单，只要掌握求导的基本方法，极易求解；配方法稍有些繁索，但任掌握一种方法，即可求出所求的极大值、极小值、
再看一道例题：
例6：如图11 所示为一稳压电源回路。电源
电动势为e，内阻为r ，负载电阻为ｒ，问ｒ
取多大时，电源输出功率最大？ 图11
分析与解答：由欧姆定律得，i=e/(r+r)。
则在负载电阻ｒ上输出的功率为
p=p(r)=i2r=e2r/(r+r)2
实验证明，当er一定时，输出功率由负载电阻ｒ的大小决定，r很小时，电源功率大都有消耗在内电阻r上，输出功率可以变得很小；当ｒ很大时，电路中电流很小，输出功率也可以变得很小。因此，ｒ一定有一个适当的数值，使得输出功率最大。
令：p`(r)=[e2r/(r+r)2]`=[e2(r+r)2—e2r*2(r+r)]/(r+r)4
=e2(r—r)/(r+r)=0
则r=r，即取负载电阻ｒ等于电源内阻r时，电源输出功率p最大，最大值为e2/4r。
如果在解题的过程中发现，极值函数中变量为二次或三次或分母含有变量，而且用一般普通方法很难求出极值的，即可用求导法求函数的极值。用求导法求解极值问题，一定要分清变量和常量。
平均值不等式：
平均值不等式主要用来解决物理中的极值问题。它的一般表达式为：
(a1+a2+．．．．．．+an)/n≧ √ a1a2．．．an
其中a1，a2……an都为正数，且仅当a1＝a2=a3=……=an时，才取等号。用平均值不等式来解极值问题的基本方法是：
①按题意，根据物理定律、定理或公式等列出需求极值的物理量表达式。
②要在不等号的两边，使一方是需求的极值的量，而号一方为常数。
③若暂时还不能直接用平均值不等式时，可作一些恒等变形后再应用：
④在“≧”或“≦”的关系式中应取“＝”。
例7：在一根长为l不可伸长的轻质线一端系一质量为??m 的小球，线的另一端系于ｏ点处，如图12所示。把球拉到水平后静
止释放。问：小球运动到什么位置具有最大的竖直分
速度？
分析与解答：设当线与竖直成θ角时，小球具有
最大竖直分速度。由机械能守恒得： 图12
mglcosθ=mv2/2 得v=√2gl．cosθ
∴vy=v.sinθ=√2gl.cosθ　．sinθ
=√2gl．cosθ．sinθ．sinθ
令a=2cosθ b=c=sin2θ
∵(a+b+c)/3≧√abc
∴(2cos2θ+sin2θ+sin2θ)/3≧√2cos2θsin2θsin2θ
∴√2cos2θsin2θsin2θ≦2/3
∴2cos2θsin2θsin2θ≦8/27
当2cos2θ=sin2θ=sin2θ时有最大值，由此得：tgθ= 2
cos=1/√1+tg2θ=√3/3
∴vym=√2glcosθsin2θ=√2gl*2√3/9
用这种方法解题，需要同学灵活应变的能力，考虑到某些量的和或积为常量，或把某些量进行变形，使它们的和为常量，即可用平均值不等式的方法来解题。一般的滑杆靠墙壁滑动，或与转轴有关的极值问题，易用此种方法解题。
利用三角函数求极值：
正弦和余弦函数都是有界函数，即｜sinx｜≦1，|cosx|≦1;
于是函数y=asin(wx+ф)(a>0,w>0)，有最大值a，最小值－a，a也叫函数的振幅。
例8：如图13所示，物体质量为??m，与地面的磨擦系 图13
数为μ，用一大小为f的力斜向上拉它，问为使加速度最
大，此时与水平面的夹角为多少？
解：受力分析如图14 图14
　　用正交分解法可列出力学方程：
　　fcosθ﹣f=ma ①
　　fsinθ+n﹣mg=0 ②
　　f=μn ③
　　由①②③得a=[f(cosθ+μsinθ)-μmg]/m
　　又cosθ+sinθ=√1+μ2 sin(θ+ф), （其中tgθ=1/μ>0,知是锐角）
　　当cosθ+μsinθ=√1+μ2时，a取最大值．
　　此时，ф+θ=π/2即θ=π/2-arctg1/μ
　　由此题可以看出，凡解题中带有三角函数，并能把三角函数化成y=asin(wx+ф)的形式，即可用函数的有界性，求出极值。如上题的求最大加速度，或求作匀速直线运动的最小拉力等这样的题。均可考虑可否用正、余弦的有界性来解极值问题。
　　数学对物理不仅是计算工具，也是物理学的思维工具，缺乏灵活运用数学知识和方法往往成为解题的主要障碍，所以，我们要重视数理结合，努力提高数学解题能力。
　　临界法解物理极值问题
　　有些物理极值问题中，所求物理量，物理过程或物理状态的极值与某一临界有关，则可用临界法求解。物理量在变化过程中， 在临界状态下的取值为极值，所满足的条件为临界条件。在用临界法求物理极值时，一般要根据问题的特征，巧妙地建立一个含极值条件的物理模型，则可快捷地解决问题，也可分析物理状态或物理过程。借助函数或函数图像识别物理临界状态，找出临界条件，建立临界方程，从而求得问题的极值。
　　例9：如图15，质量m＝4kg的木板长为l=0.4m，静止在光滑水平面上，其上面右端静置一质量m=1kg的小滑块（可看作质点），滑块与木板间的动摩擦因数 μ =0.4，现用一水平恒力f=28n 向右拉木板，要使滑块从木板上恰好滑下，力f至少应作用多长时间？(g=10m/s2)
　　分析与解答：题中木板在恒力f的作用下由静 止开始向右加速运动，滑块受摩擦力作用相对地面也向右滑动，因为
　　am=f/m=μg=4m/s2 , am=(f-f)/m=6m/s2 ,
　　即木板的加速度大于滑块的加速度，所以在力f作用时间内的任意时刻，木板的速度必大于滑块的速度，若力f作用停止后，当两者速度恰好能够相等并且滑块到达下滑的临界状态。这时滑块相对于木板的位移为l，则力f作用在木板上的时间就是最短时间，设木板在力f作用期间的位移为sm,通过上述物理过程的分析可知，要使滑块滑下来，其临界条件是vm=vm=v,且滑块的位移sm=l,明确这些后，求极值就不难了，对由m和m组成的系统有：
　　ft=(m+m)v ①
　　fsm－μmgl=(m+m)v2/2 ②
　　对木板有：sm=amt2/2= (f-μmg)t2/2m ③
　　由①②③式得，tmin=1s。
　　当然，求解物理极值的方法还有很多，如数学上的配方法，把方程化为a(x+b)2+c的形式，再根据题意求解；一元二次方程的性质，函数y=ax2+bx+c(a≠0)，若a>0，则x=─b/2a 时，ymin=(4ac─b2)/4a ；若a<0,则x=─b/2a 时，ymax=(4ac─b2)/4a　；一元二次方程的判别式 ?? =b2─4ac≧0，可推导出所求问题的取值范围；三角函数中的积化和差，倍角，半角公式，万能公式等都可求出有关极值问题……求物理极值的方法很多，遇到具体问题时，具体分析，灵活运用求极值的方法，快速的解决有关的极值问题。
　　极值问题是物理学中常见的，而又十分灵活的一类问题，它作为一种“智能型”题目，常出现在物理习题中，掌握了求极值的方法，有利于深化物理概念和规律，提高分析思维能力。
参考文献：
[1]张志军、王文榜：中学物理求极值的几种数学方法。　
[2]胡国尼：用动态圆分析带电粒子在磁场中运动的极值的问题。2001/5 《中学物理教学参考》 陕西师范大学杂志社　　
[3]孟令江：关于物理竞赛中的极值问题。2000 年，《物理通报》 河北省物理学会
[4]刘品德：应用数学方法求解物理极值问题。1999年 《中学物理》 哈尔宾师范大学
[5]李承先：用临界法解物理极值问题。2001年 《中学物理教学参考》陕西师范大学杂志社

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2003-11-21