数学思想是人脑对现实世界的空间形式
和数量关系的本质的反映

作者：本溪市第二十六中学 胡秀娥

　　
　　思想对认知结构的发展起着重要作用，是重要的基础知识，是知识转化为能力的桥梁，由于它比其他数学知识更抽象、更概括，加上它的隐蔽性，所以学生难以从教材中独立获取，因此，教师对数学思想的教学应予以高度重视．
　　首先，要认真挖掘初中数学救材各章中蕴含的数学思想；有哪些数学思想?通过哪些知识体现出来?然后结合大纲，掌握数学思想教学的总要求，对初中学生来讲，要求理解的数学思想有：①符号思想中的用字母表示数的思想；②数形结合思想；⑧方程思想；④转化思想；一般向特殊的转化和特殊初中数学教材中的数学思想

　　数学思想是人脑对现实世界的空间形式和数量关系的本质的反映，是思维加工的产物，是人们对现实世界空间形式和数量关系的本质认识，它隐藏在数学概念、法则、公式、公理、方法等知识的背后，反映了这些知识的共同本质，它比一般数学概念和数学方法具有更高的适合性和抽象性，因而更深刻、更本质、数学思想是数学知识的核心，是数学的精髓和灵魂。数学思想和数学观点不同，数学观点是指人们站在某个位置，从某个角度运用数学思想去观察和思考问题所形成的看法，此时数学就成了数学观点，因此数学观点也体现着数学思想数学思想和数学方法也不同，不能将二者混为一谈，数学思想是相应的数学方法的精神实质，是数学方法的灵魂，而数学方法则是运用数学思想的技术手段，是数学思想的载体，是数学思想的产物、但二者又是相互联系的任何数学思想都要通过一定的数学体现出来，反之，任何数学方法都蕴含着一定的数学思想，正因为如此，人们常常把数学思想和数学方法统称为数学思想方法，但严格说来，这样做是不科学的，因为它混淆了数学思想和数学方法的区别，我们不能把数学方法提高为数学思想，也不能把数学思想降低为数学方法朋如不能把“消元法”、“降次法”，“换元法”称为“消元思想”、“降次思想”、“换元思想”，也不能把“转化思想”、“数形结合思想”称为“转化法”，“数形结合法”，尽管在不少刊物上这些提法常常出现，数学思想中，有一类是存在于基础数学之中，具有奠基性的，称为基本数学思想，它是在数学的形成和发展过程中逐渐形成和发展着的．初中数学中的基本数学思想有：符号思想、集合思想、对应思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类思想、统计思想、转化思想，深刻理解这些数学思想，无疑对初中数学教学具有深远意义，下面谈谈几年来我们对这些数学思想研究后的认识．
　　一、符号思想
　　在研究数学问题时，为使问题简明，常常要引进数学符号，这种引进数学符号来简化问题的思想就是符号思想，初中代数中用字母表示数的思想就属于符号思想，用符号即可以表示数，又可以表示量；既可以表示未知数，也可以表示已知数，既可表示常量，又可表示变量，还可以用符号表示运算、表示关系、表示语句、表示图形!总之符号表示的意义是极为广泛的，比如用字母等式表示数的运算定律，用符号a∈a 表示a是集合a的元素，用△abc来表示以a、b、c为顶点的三角形，用s=1/2ah表示三角形面积的计算方法，用符号f(x)来表示x的函数，用x,y,z来表示方程中的未知数，用logax来表示x的对数函数，用f1(x)来表示x的导数，用∫f(x)dx 来表示f(x)的原函数等等，这些都是符号思想的运用，符号思想在数学中无时不在，无处不有．初中数学中的各章都有符号思想，符号思想的产生是数学史上重大的里程碑，没有符号思想，就没有代数，没有几何，就没有近代数学和现代数学，由这一思想已产生出一种用异常广泛的数学语言——符号语言，所以，这一思想是描述和简化数学司题的最基本的数学思想，是其他数学思想的基础．
　　二、集合思想
　　集合是一堆东西组成的整体，子集、交集、并集、差集、补集本质上反映了集合与集合之间的关系，集合论是近代数学最基本的理论，具有奠基性．运用集合论来处理数学问题的思想就是集合思想，集合的思想和语言已渗透到数学的各个分支，已应用到数学的各个方面，比如函数的定义域就是自变量取值的集合，不等式的解就是满足不等式的实数的集合，研究四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形间的关系，实际上是运用集合思想研究这些图形组成的几个集合之间的关系，解方程组和不等式组运用了交集思想；作加法运用了并集思想；作减法运用了差集思想；解数学题时原问题难解，而解其相反问题，直接证法不好证，可用间接证法，实际上运用了补集思想；将有理数或实数进行分类，实际上运用了子集思想，初中数学的不少章节(如有理数、整式、方程组、不等式组、函数、统计初步、三角形、四边形等)都存在着集合思想，集合思想不仅存在于初等数学，高等数学以及数学的各个分支，而且已渗透到近代和现代科学中，在计算机、人工智能和日常生活中都有着广泛的应用，所以，集合思想同符号思想成为基本数学的两大基石，在数学中要认真领会和运用．
　　三、对应思想
　　对应本质上反映了两个集合的元素与元素之间的某种关系，当两个集合建立了某种对应时，这两个集合的元素和元素之间就发生了某种关系，运用两集合元素和元素之间的对应关系来处理数学问题的思想，就是对应思想．对应思想在数学中也是随处可见的．比如实数集与数轴上的点集的对应，复数集与坐标平面的点集的对应，三元有序数组(a,b,c)的集合与一元二次方程ax2+bx+c=0 的集合的对应等等，初中数学中的函数和一元一次不等式<组)等章节中都存在着对应思想，当研究一个集合的事物不方便时，可通过对应转化为研究另一集合的事物，以达到研究原集合事物的目的．比如我们研究一次方程组的解的各种情况时，可以通过研究方程组的增广矩阵来达到目的，显然比研究方程组本身方便多了，这里就运用了对应思想，因此，对应思想架设了转难为易的桥梁．
　　四、函数与方程思想
　　运动变化、相互联系、相互制约，是客观世界的普遍规律，函数与方程思想就是这一规律在数学中的反映．函数描述了自然界中量与量的依存关系，反映了一事物随另一事物变化而变化的客观规律，在解决某些数学问题时，常常要抽象出问题的数学特征，建立一个恰当的函数关系，再利用该函数的性质来达到解决问题的目的，这种通过建立函数关系并运用函数性质来解决数学问题的思想就是函数思想，符号思想与集合思想是函数思想的基础，对应思想是函数思想的本质．方程是含有未知数和已知数的等式，因此，方程反映了已知量和未知量相互制约的条件，架设了由已知到未知的桥梁，任何一个联系生产和生活的数学问题，都有已知和未知，把已知和未知间的关系通过方程表达出来，再利用解力程的办法求得未知，这就是方程思想，简言之，运用方程这一工具来解决数学问题的思想就是方程思想，符号思想是方程思想的基础，已知和未知间的相等关系是方程思想的本质．
　　函数与方程既是两个不同的概念，又存在着密切的联系，一个函数若能用一个解析式表达，则这个表达式就可看成一个方程；一个二元方程的两个未知数间存在着对应关系，如果这个对应关系是单值的，那么这个方程也可以看成一个函数，一个一元方程，它的两端可以分别看成函数，方程的解就是这两个函数图象交点的横坐标，因此，许多有关方程的问题可用函数思想去解决：反之，许多有关函数的问题也可以用方程思想去解决，函数思想与方程是解决很多数学问题的基本思想，初中数学中的很多章节 (方程、方程组、函数等)都存在着方程思想和函数思想，由于方程(组)是初中代数的核心内容，因此方程思想贯穿于初中代数的始终，而高中代数主要研究函数，故函数思想贯穿于高中代数的始终．
　　五、数形结合思想
　　数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学，数和形本来就具有密切的关系，数量关系常常有它的几何意义，几何图形的大小和形状常常用数量和数量关系来表示．我国著名数学家华罗庚先生说：“数无形时不直观，形无数时难入微”，这句话形象简练地指出了形和数的互相依粮、相互制约的辩证关系，因此，我们在研究问题的数量关系时，常常联系到图形；在研究图形时常常将其数量化，使数量关系和对应的图形结合起来，这就是数形结合的思想，符号思想和对应思想是数形结合思想的基础，数形结合思想具有广泛的应用，并对数学的发展产生了巨大的作用和深远的影响，苗卡尔发明坐标系这一数学工具，运用代数方法研究几何图形，创立了解析几何，这是运用数形结合思想的光辉典范，解决数量问题时联系图形，会使问题变得直观，特点变得鲜明突出，从而易于找到解法，因此数形结合思想为数学问题的解决开辟了一条新的途径，初中数学的不少章节，如有理数，一元一次不等式(组)、乘法公式，函数，统计初步和平面几何各章都存在着数形结合思想，可以说数形结合思想贯穿于初中数学的始终．
　　六、分类思想
　　当一个数学问题难以解决时，有时可按某一标准把这个问题分成若干种不同的情况(简称类)，然后对每种情况分别进行讨论，这种解决数学问题的思想就是分类思想，集合思想是分类思想的基础，运用分类思想处理数学问题时要注意两点：一是不能遗漏，即集合中的每个元素必属于某一类；二是不能重复，即集合中的每个元素不能同时屑于两个不同的类．分类思想在数学中的应用是很广泛的，对解决某些问题具有显著的作用，在概念教学中，为了明确概念的外延，常常要运用分类思想对概念进行分类，比如对三角形、四边形、多边形方程、不等式、函数进行分类，而有些概念是直接运用分类思想以提示外延的方式定义的，如有理数、绝对值、实数、整式等，在平面几何中，在研究直线和直线、直线和圆、圆和圆的位置关系时，运用了分类思想；在研究一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的性质时，也运用了分类思想，总之，分类思想是研究概念的外延，图形位置关系、函数性质以及其他不少问题的基本思想．
　　七、统计思想
　　利用样本的特征，从局部的性质来估计总体的，性质，通过对数据的描述和整理来寻找规律，从偶然中来寻找必然，从现象中来寻找本质，这种处理数学问题的思想就是抽样统计思想，简称统计思想，通过子集的性质来估计母集的性质，这是子集思想，所以集合思想是统计思想的基础，运用统计思想来处理问题，关键是抽样的科学性，即样本的代表性，这种思想在科学试验、农业估产，工业质量检验以及教育评估等各个方面都有广泛的实际应用，统计思想的重要性从初中“代数统计初步”一章的例题和习题中已充分地反映出来，因此统计思想是一种重要的数学思想．
　　八、转化思想
　　客观事物总是不断变化的，并在一定条件下是会转化的，事物之间的转化，反映在数学上就是转化思想，又称为化归思想，转化思想是数学思想的核心，其内涵十分丰富；高维向低维的转化、陌生向熟悉的转化、复杂向简单的转化、抽象向直观的转化、多元向一元的转化、高坎向低次的转化、未知向已知的转化、数与形的转化、一般与特殊的转化、动与静的转化、有限与无限的转化等等，在数学中无时不有，无处不在．
就其内容而言，有运算的转化：加法与减法的转化、乘法与除法的转化、微分与积分的转化……；有式的转化；超越式向代数式的转化、无理式向有理式的转化、分式向整式的转化、函数向方程式的转化……；还有方法的转化，等式不等式形态的转化，问题表达方式的转化，解题过程中的一系列转化等等．
　　转化思想贯穿于各级各类数学教材的始终，贯穿于解题过程的始终，它是最重要的、应用最广的数学思想．
　　运用符号思想、集合思想、对应思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类思想、抽象统计思想去处理问题，其目的是完成复杂向简单、抽象向直观、困难向容易、陌生向熟悉、未知向已知的转化，同时，从学习的认知结构理论可知，数学学习过程是数学认知过程，其实质是数学认知结构发展变化的过程，这个过程是通过同化和顺应两种方式实现的，无论是同化还是顺应，都是在原数学认知结构和新的数学内容间，改造一方去适应另一方，这种改造就是转化，因此，我们说转化思想是数学思想的核心和精髓，是数学思想的灵魂．
这些基本数学思想相互联系，组成了一个有机的数学思想体系，它们之间的关系可用下图表示出来：
　　向一般的转化，未知向已知的转化，复杂问题向简单问题的转化；要求学生了解或初步了解的数学思想有：统计思想、分类思想、对应思想、集合思想、函数思想。
其次，要研究数学思想教学的原则和方法，数学思想的教学除应遵循教学的一般原则外，要特别强调三点；一是一定要以数学概念、定理和数学方法等知识为载体，只有通过载体的教学把隐藏在载体中的数学思想提炼出来，才能使数学思想的教学落到实处，二是一定要循序渐进，逐步提高要求，任何一个数学思想的教学一般都要经过反复渗透、公开介绍和应用强化三个阶段，切忌操之过急；三是要加强知识形成和发展过程的教学，让学生主动参与到这一过程中来，在教师引导下逐步感受、领悟、理解和掌握数学思想，限于篇幅，不再举例．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2003-11-21